Detalle Proyecto- Sistema de Información VIIS

Análisis teórico y computacional de las propiedades de matrices para ciertas discretizaciones numéricas.

Código: 851 • Estado: Terminado

Investigador Principal Saulo Mosquera Lopez

Facultad Ciencias Exactas y Naturales

Departamento Matemáticas y Estadística

Resumen del Proyecto En la búsqueda de la solución a diversas aplicaciones de tipo científico, encontramos la necesidad de plantear modelos matemáticos que requieren ecuaciones diferenciales. Al resolver numéricamente estos modelos, dado que en la mayoría de casos no es posible obtener una solución analítica, se requiere que la solución numérica que se obtenga sea cercana a la exacta esperada y así es necesario el uso de sistemas de gran escala y métodos de alto orden.

Diferencias finitas, volúmenes finitos y elementos finitos son algunos de los métodos numéricos que se usan para resolver ecuaciones diferenciales que generalmente resultan de problemas físicos. Cuando estos métodos son usados usualmente se generan matrices de dimensiones enormes, cuyos elementos distintos de cero son pocos comparados con el orden de la matriz. Estas matrices se llaman esparcidas y para aprovechar de forma computacional la estructura de estas matrices, reducir el orden entre las operaciones matriciales y almacenar únicamente los elementos diferentes de cero, se han creado diferentes formatos de almacenamiento de datos como el "Compressed Sparse Rows" (CSR).

Por las dimensiones de estas matrices un computador personal puede tomar un gran tiempo para realizar cómputos relacionados con ellas, como determinar el radio espectral o solucionar sistemas de ecuaciones lineales asociados con la matriz, o hasta puede no tener la capacidad para realizarlos, por lo que se necesita distribuir la matriz y las tareas a varios procesadores realizando implementaciones en paralelo. El estudio de estas y otras matrices, se ha desarrollado por varios años en el área de álgebra lineal numérica, la cual propone diferentes técnicas y algoritmos para identificar propiedades de las matrices asociadas con la discretización de un operador.

En el ámbito de diferencias finitas, el esténcil que acompaña los operadores diferenciales discretos en mallas cartesianas uniformes es sencillo de entender. Por otro lado al realizar una discretización en mallas adaptativas estructuradas por bloques ("Structured Adaptive Mesh Refinement", SAMR), donde los refinamientos en ciertas regiones del problema discreto son por medio de bloques cartesianos, en las zonas de comunicación entre las regiones con diferente refinamiento se deben realizar interpolaciones que mudan el comportamiento de este esténcil y como consecuencia de la matriz. Es muy poco lo que se sabes sobre las propiedades de estas matrices, por esto es motivante para nosotros estudiar su comportamiento y propiedades.

Además estudiar propiedades de otras matices asociadas con diferentes modelos matemáticos discretos, nos permite ir fomentando una nueva linea de investigación para el programa de licenciatura en matemáticas del departamento de Matemáticas y Estadística en el área de álgebra lineal numérica y de métodos numéricos. Esto haría al programa de licenciatura en Matemáticas, un programa más competitivo a nivel nacional y a la par con la tecnología.

Formar o no una matriz asociada con una discretización, es un tema debatido por la necesidad de almacenamiento de la matriz en caso de ser usada que por un lado es una desventaja pero por otro lado, se obtiene la posibilidad de usar herramientas computacionales de álgebra lineal numérica disponibles en la internet. Estas herramientas incluyen métodos iterativos, precondicionadores y en algunos casos tienen un soporte serial y paralelo. Estos programas permiten que estudiantes con poca experiencia en programación, desarrollen rápidamente habilidades y encuentren propiedades en diferentes matrices.

Por estos motivos, nos interesamos en inciar una nueva linea de investigación en la licenciatura de matemáticas, en la cual se promueve el estudio de las propiedades matriciales a través del álgebra lineal numérica. Particularmente nos interesa estudiar las matrices asociadas a una discretización en mallas SAMR, las cuales aún se encuentran poco caracterizadas en la literatura.

Convocatoria Docente 2014

Datos de aprobación

Acuerdo de Aprobación No. 51

Fecha de Aprobación 20/11/2014

Acta de Cumplimiento 31

Fecha del Acta (Inicio del proyecto) 10/02/2015

Duración 24 Meses

Fin Proyectado 10/02/2017

Grupos de Investigación

Nombre	Línea	Clasificación
GESCAS: Grupo de Investigación en Matemáticas y Educación Matemática	Matemáticas: Teoría y Aplicaciones	Categoría B

Equipo Investigador

Nombre	Tipo
Catalina Maria Rua Alvarez	INT

Estudiantes

Nombre	Programa Académico
Juneth Andrea Teran Tarapues	Licenciatura en Matemáticas
Cristiam Fernando Pistala	Licenciatura en Matemáticas
Cesar Fernando Bolaños Revelo	Licenciatura en Matemáticas

Prórrogas asignadas

Tipo Acto Administrativo	No.	Tipo	Fecha	Nueva Fecha Terminación
Resolución	241	i	08/02/2017	10/02/2018