La propiedad de Midy: una herramienta para distinguir números primos de compuestos
Código:
503
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Estado:
Terminado
Investigador Principal
John Hermes Castillo Gómez
Facultad
Ciencias Exactas y Naturales
Departamento
Matemáticas y Estadística
Resumen del Proyecto
Dada la base b>1 y N>0 primo relativo con b, con e=o(b, N) se denota el orden de b en el grupo multiplicativo de unidades módulo N, U(N). Sean además d>1 y k>0 tales que e=o(b,N)=dk y x un elemento de U(N).
Se sabe que al representar la fracción (x/N) en base b se tiene: x/N=0.(a_1 a_2 . . . a_e), donde (a_1 a_2 . . . a_e) indica el periodo y los a_i son dígitos en base b. Si se divide el periodo en d bloques de longitud k y se representa mediante A_j al j-ésimo bloque, escrito en base b, y se hace S(x,d) =SUMA( A_j, j=1..d) (es decir la suma de todos lo bloques A_j), se dice que N tiene la propiedad de Midy para b y d si para todo elemento x del grupo U(N), la suma S(x, d) es múltiplo de b^{k}-1, es decir, si S(x,d)=m(x,d) (b^{k}-1) para cierto entero m(x,d).
Con M(N,b) se denota el conjunto de enteros positivos d tales que N tiene la propiedad de Midy para b y d, tal conjunto se denominará el conjunto de Midy de N base b.
Dado u n número primo p y una base b>1, no divisible por p, se puede demostrar que el conjunto de Midy M(p,b) tiene el mayor número de elementos posible. Este fenómeno nos permite definir el concepto de número de Midy.
El problema que nos planteamos estudiar en este proyecto es encontrar métodos eficientes, usando la propiedad de Midy, para determinar cuando un número dado es primo o compuesto. Para resolver el problema planteado, debemos encontrar algoritmos que permitan calcular el conjunto de Midy del número dado para diferentes bases. Si para una de las posibles bases, el conjunto de Midy asociado no tiene el mayor número de elementos permitido podremos concluir que el número dado es compuesto. De esta forma, es necesario construir algoritmos para calcular los conjuntos de Midy en forma rápida.
Por la naturaleza del problema, tanto el uso del computador como las reuniones periódicas del equipo investigador son fundamentales para alcanzar los resultados esperados. Para nosotros, el computador es un laboratorio el cual nos permite además de ejemplificar, plantear nuevas cuestiones matemáticas. Fue así como surgió esta investigación y en los últimos años algunos miembros del grupo ALTENUA, hemos venido estudiando los conjuntos de Midy y su estructura. Como resultado de este trabajo continuo se han publicado varios artículos y los miembros del equipo de investigación hemos presentado estos resultados en diferentes eventos académicos nacionales e internacionales.
Convocatoria
Docente 2012